الرياضيات المتناهية الأمثلة

$y = e^{- x} \cdot \ln (x)$

خطوة 1

أوجِد خطوط التقارب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $e^{- x} \cdot \ln (x)$ غير معرّفة.

$x \leq 0$

خطوة 1.2

بما أن $e^{- x} \cdot \ln (x)$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $0$ من جهة اليسار و $e^{- x} \cdot \ln (x)$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $0$ من جهة اليمين، إذن $x = 0$ خط تقارب رأسي.

$x = 0$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x)$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد كتابة $e^{- x} \ln (x)$ بالصيغة $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

خطوة 1.3.2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

خطوة 1.3.2.1.2

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

خطوة 1.3.2.1.3

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.3.2.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.3.2.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 1.3.2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 1.3.2.3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

خطوة 1.3.2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

خطوة 1.3.2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

خطوة 1.3.2.5

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

خطوة 1.3.3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x e^{x}}$ يقترب من $0$ .

$0$

خطوة 1.4

اسرِد خطوط التقارب الأفقية:

$y = 0$

خطوة 1.5

لا توجد خطوط تقارب مائلة للدوال اللوغاريتمية والمثلثية.

لا توجد خطوط تقارب مائلة

خطوة 1.6

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية: $x = 0$

خطوط التقارب الأفقية: $y = 0$

خطوط التقارب الرأسية: $x = 0$

خطوط التقارب الأفقية: $y = 0$

خطوة 2

أوجِد النقطة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = e^{- (1)} \cdot \ln (1)$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1) = e^{- 1} \cdot \ln (1)$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1)$

خطوة 2.2.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot 0$

خطوة 2.2.4

اضرب $\frac{1}{e}$ في $0$ .

$f (1) = 0$

خطوة 2.2.5

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 2.3

حوّل $0$ إلى رقم عشري.

$y = 0$

خطوة 3

أوجِد النقطة في $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = e^{- (2)} \cdot \ln (2)$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (2) = e^{- 2} \cdot \ln (2)$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{2}} \cdot \ln (2)$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{1}{e^{2}}$ و $\ln (2)$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}$

خطوة 3.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

خطوة 3.3

حوّل $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ إلى رقم عشري.

$y = 0.09380727$

خطوة 4

أوجِد النقطة في $x = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = e^{- (3)} \cdot \ln (3)$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f (3) = e^{- 3} \cdot \ln (3)$

خطوة 4.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (3) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (3)$

خطوة 4.2.3

اجمع $\frac{1}{e^{3}}$ و $\ln (3)$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}$

خطوة 4.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ .

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

خطوة 4.3

حوّل $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ إلى رقم عشري.

$y = 0.05469668$

خطوة 5

يمكن تمثيل دالة اللوغاريتم بيانيًا باستخدام خط التقارب الرأسي عند $x = 0$ والنقاط $(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)$ .

خط التقارب الرأسي: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}$

خطوة 6